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金融市场には、株式、债券、為替といったものだけでなく、先物、オプション、スワップなどさまざまな金融派生商品（デリバティブ）があります。「明日はどうなるか分からない」という金融商品の不确実性からくる不利益をなるべく减らそう(リスクヘッジ)という视点から、さまざまな商品が开発されてきました。ブラック?ショールズモデル（以下叠厂モデル）は、その中でも株のヨーロピアン?オプション(注1)を扱っています。

ヨーロピアン?オプションには、株や為替などいろいろあります。いずれの场合も、オプションを买った侧は损を抑えられますが、売った金融机関は大きな损を抱え込むことがあります。こういう状况の中で、ブラックとショールズは、「株のヨーロピアン?オプションの売买価格(プレミアム)をどう决めたらよいか」という问题に取り组みました。

式1 BSモデルにおける株価と債券価格

式2 BSモデルから導出されるオプション価格(プレミアム C )

彼らは1铭柄の株と1种の债券からなるポートフォリオ(＊2)を対象とし、株価（厂）と债権価格（叠）が式1を満たす叠厂モデルを考えました。そして、株価と债券が叠厂モデルに従っている限り、売り手は株の日々の売买によって、买い手がオプションを行使した场合と同じものを作り出す(复製)ことができることを示しました。つまり、オプション行使日にすべての株と债券を処理すると、手元に残る金额(资产価値)がオプションの行使価格と同じになる株の売买戦略が存在するのです。その戦略をとる时に、最初に要する资金がいくらかを求める公式（式2）を导き出し、これをプレミアムとしました。

「彼らの理论は、株の売买を通してオプションのリスクを市场に流せるという、それまで谁も知らなかったリスクヘッジの方法を発明した点で非常に画期的なものです」と、东京大学大学院数理科学研究科の楠冈成雄教授はいいます。この手法は、今では、动的ヘッジ戦略（动的ポートフォリオ戦略)とよばれています。

株価のように刻一刻変化し、その动向がランダムなものの确率过程を记述するには、ブラウン运动を数理化したものを用います。ノイズとともに発展していくランダムな过程を、ブラウン运动を取り入れた确率微分方程式として、初めて数学的に正确に表现したのが伊藤清でした。

伊藤　清（いとう?きよし）
1915～2008年。东京帝国大学（东京大学の前身）理学部数学科を卒业し、1945年に同大学から理学博士号を授与される。京都大学教授、米国のプリンストン高等研究所研究员、スタンフォード大学教授、デンマーク?オーフス大学教授、米国コーネル大学教授などを歴任。确率微分方程式?确率积分の理论を中心に确率解析学を确立した功绩により、ウルフ赏（1987年）、京都赏（1998年）、ガウス赏（2006年）、文化勲章（2008年）などを受赏。
写真：（滨惭鲍ガウス赏受赏记念。2006年8月撮影）

叠厂モデルも确率微分方程式で表されています。叠厂の复製理论に数学的な証明を与えたのは、米国の経済学者搁?マートンです。叠厂モデルでは资产価値が确率积分で表されることに気づき、伊藤の公式を使えば、复製の方程式を解くことができることを示したのです。この公式は、确率微分方程式の式変形を进めるために伊藤が考え出した手法で、これを使えば容易にある种の微分方程式を解くことができます。
1980年代に入ると、さまざまな金融商品のいろいろなデリバティブに対して、複製の考えが適用できることが明らかになりました。どのモデルもBSモデルと同じように確率微分方程式で表されています。だからこそ複製が可能だといえます。 「伊藤先生は、まさに確率微分方程式の開祖で、その応用分野の1つが金融だったわけです。ご自身はまったくあずかり知らぬことだったのですが…」と楠岡教授。欧米の 金融関係の人の中には、伊藤を経済学者だと思っていた人が大勢いたといいます。

叠厂モデルは画期的でしたが、市场との齟齬もいろいろありました。そこで、できるだけ现実を反映する正しいモデルを求めて、いろいろなものがつくられてきました。
しかし、モデルは正しいだけでなく、解けることも非常に重要です。解けないモデルは絵に描いた餅にすぎません。 微分方程式の数値解法は長らく数学の研究テーマになってきましたが、確率微分方程式の解法ともなると、まだ手がついたばかりです。楠岡教授はその研究を行っており、「楠岡近似」と呼ばれる新しい手法を提唱しています。

図1 数値実験による分割数と誤差の関係
楠冈近似もオイラー?丸山法も离散近似法である。确率微分方程式は连続时间の方程式であるが、そのままでは取り扱いが难しいので、时间の区间を分割して时间を离散化し、近似计算を行う。数値実験での分割数と误差の関係を见ると、オイラー?丸山法より楠冈近似の精度が高く、楠冈近似に补外法を导入するとさらに精度が高くなることがわかる。

常微分方程式(変数が1種類の微分方程式)の解法として、オイラー法とテイラー法があります。オイラー法を確率微分方程式の解法に取り入れたのが、オイラー?丸山法です。 非常によく使われていますが、精度が高くありません。 一方、テイラー法を取り入れるには難題がありました。確率微分方程式に取り入れると、ブラウン運動の確率積分が何回も出てきます。現在のところそういうものの分布がまったく分かっていないため計算不能になってしまうのです。

それに対して楠冈教授は、「正确な分布を知る必要はない。分布がある条件を満たしていれば、テイラー法を导入して精度の高い近似ができる」という枠组みを示しました。その証明は非常に难しいもので、楠冈教授いわく、「この分野でもほんの一部の人にしか理解されていません。しかし、実用性はあるのです」。
数値実験でも非常に良い近似だということが示されています（図1）。そこで、金融の现场の人たちに実际に使ってもらおうと、东京工业大学の二宫祥一教授、本学経済学研究科の二宫真理子特任助教と组んでプログラム化をはかりました。昨年12月からのサイトで公开しています。

「いろいろな人が使えば、『こういう场合にはちょっと问题がある』といったことも出てくるでしょう。それも楽しみです」といいつつも、もはや楠冈教授の头は、现在挑戦中の新しい课题、「バリアー条件付きデリバティブの解法」に占められているようです。

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